Verwendung unterschiedlicher Formulierungen von Plotting-Positionen

Berechnung von Plotting-Positionen

Beim Erstellen eines Perzentil-, Quantil- oder Wahrscheinlichkeitsdiagramms müssen die Plotting-Positionen der geordneten Daten berechnet werden.

Für eine Stichprobe \(X\) mit Populationsgröße \(n\) ist die Plotting-Position des \(j^\mathrm{th}\)-Elements definiert als

\[\frac{x_{j} - \alpha}{n + 1 - \alpha - \beta }\]

In dieser Gleichung können α und β verschiedene Werte annehmen. Gängige Werte werden unten beschrieben

„Typ 4“ (α=0, β=1)
Lineare Interpolation der empirischen CDF.
„Typ 5“ oder „Hazen“ (α=0,5, β=0,5)
Stückweise lineare Interpolation.
„Typ 6“ oder „Weibull“ (α=0, β=0)
Weibull-Plotting-Positionen. Erwartungswertfreie Überschreitungswahrscheinlichkeit für alle Verteilungen. Empfohlen für hydrologische Anwendungen.
„Typ 7“ (α=1, β=1)
Die Standardwerte in R. Nicht empfohlen mit Wahrscheinlichkeitsskalen, da die minimalen und maximalen Datenpunkte Plotting-Positionen von 0 bzw. 1 erhalten und daher nicht angezeigt werden können.
„Typ 8“ (α=1/3, β=1/3)
Ungefähr median-erwartungswertfrei.
„Typ 9“ oder „Blom“ (α=0,375, β=0,375)
Ungefähr erwartungswertfreie Positionen, wenn die Daten normalverteilt sind.
„Median“ (α=0,3175, β=0,3175)
Median-Überschreitungswahrscheinlichkeiten für alle Verteilungen (verwendet in scipy.stats.probplot).
„apl“ oder „pwm“ (α=0,35, β=0,35)
Verwendet mit wahrscheinkeitsgewichteten Momenten.
„Cunnane“ (α=0,4, β=0,4)
Nahezu erwartungswertfreie Quantile für normalverteilte Daten. Dies ist der Standardwert.
„Gringorten“ (α=0,44, β=0,44)
Verwendet für Gumbel-Verteilungen.

Der Zweck dieses Tutorials ist es zu zeigen, wie die ausgewählten α und β die Form eines Wahrscheinlichkeitsdiagramms verändern können.

Lassen Sie uns zuerst einige analytische Grundlagen klären...

%matplotlib inline

import warnings
warnings.simplefilter('ignore')

import numpy
from matplotlib import pyplot
from scipy import stats
import seaborn

clear_bkgd = {'axes.facecolor':'none', 'figure.facecolor':'none'}
seaborn.set(style='ticks', context='talk', color_codes=True, rc=clear_bkgd)

import probscale


def format_axes(ax1, ax2):
    """ Sets axes labels and grids """
    for ax in (ax1, ax2):
        if ax is not None:
            ax.set_ylim(bottom=1, top=99)
            ax.set_xlabel('Values of Data')
            seaborn.despine(ax=ax)
            ax.yaxis.grid(True)

    ax1.legend(loc='upper left', numpoints=1, frameon=False)
    ax1.set_ylabel('Normal Probability Scale')
    if ax2 is not None:
        ax2.set_ylabel('Weibull Probability Scale')

Normale vs. Weibull-Skalen und Cunnane vs. Weibull-Plotting-Positionen

Hier generieren wir einige gefälschte, normalverteilte Daten und definieren eine Weibull-Verteilung aus scipy, die wir für eine Wahrscheinlichkeitsskala verwenden werden.

numpy.random.seed(0)  # reproducible
data = numpy.random.normal(loc=5, scale=1.25, size=37)

# simple weibull distribution
weibull = stats.weibull_min(2)

Nun erstellen wir Wahrscheinlichkeitsdiagramme auf sowohl Weibull- als auch normalen Wahrscheinlichkeitsskalen. Zusätzlich berechnen wir die Plotting-Positionen auf zwei verschiedene, aber übliche Weisen für jedes Diagramm.

Zuerst zeigen wir in blauen Kreisen die Daten mit Weibull- (α=0, β=0) Plotting-Positionen. Weibull-Plotting-Positionen werden häufig in Bereichen wie Hydrologie und Wasserressourcen-Ingenieurwesen verwendet.

In grünen Quadraten verwenden wir Cunnane- (α=0,4, β=0,4) Plotting-Positionen. Cunnane-Plotting-Positionen eignen sich gut für normalverteilte Daten und sind die Standardwerte.

w_opts = {'label': 'Weibull (α=0, β=0)',     'marker': 'o', 'markeredgecolor': 'b'}
c_opts = {'label': 'Cunnane (α=0.4, β=0.4)', 'marker': 's', 'markeredgecolor': 'g'}

common_opts = {
    'markerfacecolor': 'none',
    'markeredgewidth': 1.25,
    'linestyle': 'none'
}

fig, (ax1, ax2) = pyplot.subplots(figsize=(10, 8), ncols=2, sharex=True, sharey=False)

for dist, ax in zip([None, weibull], [ax1, ax2]):
    for opts, postype in zip([w_opts, c_opts,], ['weibull', 'cunnane']):
        probscale.probplot(data, ax=ax, dist=dist, probax='y',
                           scatter_kws={**opts, **common_opts},
                           pp_kws={'postype': postype})

format_axes(ax1, ax2)
fig.tight_layout()
../_images/output_9_0.png

Dies zeigt, dass die verschiedenen Formulierungen der Plotting-Positionen sich am stärksten an den extremen Werten des Datensatzes unterscheiden.

Hazen-Plotting-Positionen

Als nächstes vergleichen wir die Hazen/Typ 5 (α=0,5, β=0,5) Formulierung mit Cunnane. Hazen-Plotting-Positionen (dargestellt als rote Dreiecke) repräsentieren eine stückweise lineare Interpolation der empirischen kumulativen Verteilungsfunktion des Datensatzes.

Da die Werte von α=0,5 und β=0,5 nur geringfügig von den Cunnane-Werten abweichen, sind die Plotting-Positionen erwartungsgemäß ähnlich.

h_opts = {'label': 'Hazen (α=0.5, β=0.5)', 'marker': '^', 'markeredgecolor': 'r'}
fig, (ax1, ax2) = pyplot.subplots(figsize=(10, 8), ncols=2, sharex=True, sharey=False)

for dist, ax in zip([None, weibull], [ax1, ax2]):
    for opts, postype in zip([c_opts, h_opts,], ['cunnane', 'Hazen']):
        probscale.probplot(data, ax=ax, dist=dist, probax='y',
                           scatter_kws={**opts, **common_opts},
                           pp_kws={'postype': postype})

format_axes(ax1, ax2)
fig.tight_layout()
../_images/output_11_0.png

Zusammenfassung

Auf die Gefahr hin, eine sehr unübersichtliche und schwer lesbare Abbildung zu zeigen, werfen wir alle drei auf dieselbe normale Wahrscheinlichkeitsskala.

fig, ax1 = pyplot.subplots(figsize=(6, 8))

for opts, postype in zip([w_opts, c_opts, h_opts,], ['weibull', 'cunnane', 'hazen']):
    probscale.probplot(data, ax=ax1, dist=None, probax='y',
                       scatter_kws={**opts, **common_opts},
                       pp_kws={'postype': postype})

format_axes(ax1, None)
fig.tight_layout()
../_images/output_13_0.png

Auch hier verändern die unterschiedlichen Werte von α und β die Form des Wahrscheinlichkeitsdiagramms in der Regel nicht wesentlich zwischen – sagen wir – dem unteren und oberen Quartil. Außerhalb der Quartile ist der Unterschied jedoch offensichtlicher.

Die folgende Zelle berechnet die Plotting-Positionen mit den drei untersuchten α- und β-Werten und gibt die ersten zehn Werte zum einfachen Vergleich aus.

# weibull plotting positions and sorted data
w_probs, _ = probscale.plot_pos(data, postype='weibull')

# normal plotting positions, returned "data" is identical to above
c_probs, _ = probscale.plot_pos(data, postype='cunnane')

# type 4 plot positions
h_probs, _ = probscale.plot_pos(data, postype='hazen')

# convert to percentages
w_probs *= 100
c_probs *= 100
h_probs *= 100

print('Weibull: ', numpy.round(w_probs[:10], 2))
print('Cunnane: ', numpy.round(c_probs[:10], 2))
print('Hazen:   ', numpy.round(h_probs[:10], 2))

Weibull:  [  2.63   5.26   7.89  10.53  13.16  15.79  18.42  21.05  23.68  26.32]
Cunnane:  [  1.61   4.3    6.99   9.68  12.37  15.05  17.74  20.43  23.12  25.81]
Hazen:    [  1.35   4.05   6.76   9.46  12.16  14.86  17.57  20.27  22.97  25.68]